A continuación Presentamos un problema de la Olimpiada Matemática Española 2015. Pertenece a la sesión de tarde y puntúa 7 puntos sobre un total de 42 (para aquellos que no conozcan el funcionamiento de estas pruebas).
Problema: Los enteros positivos $x$, $y$, $z$ cumplen $$x+2y=z$$ $$x^{2}-4y^{2}+z^{2}=310$$ Halla todos los posibles valores del producto $xyz$.
Fuente: RSME
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ResponderEliminarElevamos al cuadrado en la 1a ec. y nos queda x^2+4xy+4y^2=z^2.
ResponderEliminarPasamos 4y^2 restando: x^2+4xy=z^2-4y^2.
En la 2a ec. pasamos x^2 restando. Obsérvese que ambas igualdades comparten z^2-4y^2, luego si fusionamos ambas ecuaciones nos queda x^2+4xy=310-x^2.
Reorganizando la nueva ecuación nos queda: x(x+2y)=155.
Como lo que está entre paréntesis es z (por la 1a ec.), nos queda finalmente xz=155.
Factorizando ese número resulta 155=5×31. Debido al Teorema Fundamental de la Aritmética tanto x como z deben valer esos dos números factorizados.
Al substituirlos en la 1a ec. nos da el y despejado: y=+-13. Finalmente se obtiene xyz=+-2015.
Lo típico, el resultado es el año de la fecha por el cual se empezó la Olimpiada.