OLIMPIADA MATEMÁTICA ASTURIANA 2013

Los problemas que se muestran a continuación son los que se propusieron en la semifinal individual para 3º y 4º de ESO en la olimpiada asturiana de matemáticas a 16 de Abril de 2013:

1.- PASA EL TREN

Juan y Diego están parados en la mitad del andén de una estación de tren. Llega el Alvia, que no para, y en cuanto pasa la cabeza del tren a su altura se ponen a andar por el andén a la misma velocidad. Juan en la misma dirección y sentido que el tren y diego en dirección opuesta, parándose ambos cuando pasa la cola del tren. Si juan recorrió 45 metros y Diego recorrió 30m, ¿Cuál es la longitud del tren?

2.- SOMBREADO

En la figura que se muestra hay dos cuadrados, el mayor de lado 7cm y el menor de lado 2cm. Hallar el área sombreada en verde:

3.- PALABRAS

Llamaremos palabra a cualquier secuencia de letras A y M. Considere la siguiente sucesión de palabras: M; A; AM; AMA; AMAAM;::::

La primera palabra de la sucesión es M y cada palabra se forma a partir de la anterior por medio de las siguientes reglas:

• Cada letra M se reemplaza por la letra A.
• Cada letra A se reemplaza por la palabra AM.

Cierta palabra de la sucesión tiene entre 60 y 100 letras M. Determine cuántas letras A tiene esa palabra.

4.- UNA GRAN BATALLA

Tras una extraordinaria batalla, al menos el 70% de los combatientes perdió un ojo; el 75% una oreja, al menos el 80% perdió una mano y el 85% una pierna. ¿Qué porcentaje de ellos por lo menos perdieron los cuatro órganos?

El problema de los dos ejércitos y colorear un mapa

1.-Este problema quizá no tiene tanta relación con la matemática y está más vinculado a las ciencias de la telecomunicación, no obstante es un problema para pensar.
Imagínese dos ejércitos que se encuentran en un valle de tal forma: el ejército A se divide en dos, es decir, uno está en una montaña(1A) y el otro en otra montaña (2A), quedando entre ambos un ejército B. Existe el siguiente problema: 1A y 2A sólamente pueden comunicarse entre sí mediante un mensajero, del que no se tiene la certeza de que pudiese comunicarse con la otra parte, es decir, si 1A desease comunicarse con 2A, no podría tener la certeza de que el mensaje les llegase ya que el ejército B podría matarlo. Lo que ocurre es que el ejército 1A desearía atacar al amanecer y se precisa de un protocolo que permita que esta información le llegue a 2A. ¿Existe dicho protocolo?

NOTA: 1A no podría atacar sólo contra B pues perdería la batalla.

2.-¿Cuántos colores serían necesarios para colorear el mapa de Andalucía de la fotografía para que cada provincia tenga a su lado provincias de distinto color es decir, que ninguna provincia tenga otra a su lado del mismo color?

Los puentes de Königsberg y un problema aritmético

Los puentes de Königsberg es un clásico problema resuelto por el matemático Leonard Euler, originando así la teoría de grafos. El enunciado es el siguiente: ¿Se puede hacer un recorrido que pase por los siete puentes sin cruzar uno dos veces? ¿Por qué?

NOTA: se puede comenzar en cualquier sitio del mapa

1.- Se trataría de un número de cuatro cifras tal que éste es igual a la suma de cada una de sus cifras elevadas a sí mismas, es decir, abcd = a^a + b^b + c^c + d^d. Responder a las siguientes preguntas:

a) ¿Puede haber algún 6?
b) ¿Puede haber algún 5?
c) Hallar el número